【解析几何】谈谈反比例函数与双曲线
在初中的数学课上，我们都学过一个东西：反比例函数。初中数学老师告诉我们，反比例函数的解析式为 y=\frac{k}{x}
其中k为常数，其图像叫做双曲线。
而到了高中后，数学中有个专题叫做圆锥曲线，里面也有一种曲线叫做双曲线。双曲线（焦点在x轴上）的标准方程为 \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
F_{1}(-c,0) 和 F_{2}(c,0) 称为双曲线的两个焦点，其中 c^{2}=a^{2}+b^{2}
双曲线满足如下性质：双曲线上任一点P到两个焦点的距离之差为定值，即
\left| \left| PF_{1} \right| - \left| PF_{2} \right|\right|=2a
（在此处不给出双曲线标准方程的推导，具体可参考高中数学选修2-1课本）
事实上，反比例函数的图像就是一种特殊的双曲线，两条坐标轴就是它的渐进线，先来看下面几个题目。
例1 在平面直角坐标系中，两定点坐标分别为 F(2,2) ，F'(-2,-2) ，平面内一点 P 满足 \left| \left| PF_{1} \right| - \left| PF_{2} \right|\right|=4 ，当 P 运动时，求点 P 的轨迹方程。
解 由条件与两点间距离公式可得 \left| \sqrt{(x-2)^{2}+(y-2)^{2}}-\sqrt{(x+2)^{2}+(y+2)^{2}} \right|=4
上式两边平方得 (x-2)^2+(y-2)^2-2\sqrt{(x-2)^{2}+(y-2)^{2}}\sqrt{(x+2)^{2}+(y+2)^{2}}+(x+2)^2+(y+2)^2=16
移项后得到 2x^2+2y^2=2\sqrt{(x-2)^{2}+(y-2)^{2}}\sqrt{(x+2)^{2}+(y+2)^{2}}
即 x^2+y^2=\sqrt{(x-2)^{2}+(y-2)^{2}}\sqrt{(x+2)^{2}+(y+2)^{2}}
上式两边平方得 x^4+2x^2y^2+y^4=\left[ (x-2)^{2}+(y-2)^{2} \right]\left[ (x+2)^{2}+(y+2)^{2} \right]
=[(x^2+y^2+8)-(4x+4y)]\cdot[(x^2+y^2+8)+(4x+4y)]
=x^4+2x^2y^2+y^4-32xy+64
即 x^4+2x^2y^2+y^4=x^4+2x^2y^2+y^4-32xy+64
移项后得到 xy=2
两边同时除以 x 可以得到 y=\frac{2}{x}
这便是刚刚所提到的反比例函数，在这里 k=2 。
例2 在平面直角坐标系中，已知双曲线 C:x^2-y^2=2 ，将其绕原点 O 逆时针旋转 45° ，求所得到的曲线的方程 C' 。
在做这题前，我们先来证明这样一个结论：
引理 在平面直角坐标系中，已知点 P(x,y) ，将其绕原点逆时针旋转 \theta 度，所得到的点的坐标为 P'(\cos\theta x-\sin\theta y, \sin\theta x + \cos\theta y)
证明 设 ∠POx=\alpha ， ∠P'Ox=\alpha+\theta ， |OP|=|OP'|=\rho
则 P(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) ， P'(\rho \cos (\alpha+\theta),\rho \sin (\alpha+\theta))
其中 \cos (\alpha+\theta)=\cos\alpha \cos \theta - \sin\alpha \sin\theta ， \sin (\alpha+\theta)=\sin\alpha \cos\theta +\cos\alpha \sin\theta
则 P'(\rho \cos\alpha \cos \theta -\rho \sin\alpha \sin\theta ,\rho \sin\alpha \cos\theta +\rho \cos\alpha \sin\theta)
由于 x=\rho \cos \theta ， y=\rho \sin \theta
代入可得 P'(\cos\theta x-\sin\theta y, \sin\theta x + \cos\theta y)
解 在本题中，设 P(x,y) ， P'(x',y') ，可将 P 视为 P' 旋转 \theta=-45° 得到，即
x=\cos(-45°) x'-\sin(-45°) y'=\frac{\sqrt{2}}{2}x'+\frac{\sqrt{2}}{2}y'
y=\sin(-45°) x'+\cos(-45°) y'=-\frac{\sqrt{2}}{2}x'+\frac{\sqrt{2}}{2}y'
代入双曲线方程 C 得 \frac{1}{2}(x'+y')^2-\frac{1}{2}(x'-y')^2=2
化简得 xy=1 ，两边同时除以 x 可以得到 y=\frac{1}{x}
也是反比例函数，在这里 k=1 。
我们可以得到结论：反比例函数的图像就是特殊的双曲线，其中渐进线为两条相互垂直的坐标轴。由于坐标轴相互垂直，可以推出 a=b ，离心率 e=\sqrt{2} ，或者说，该双曲线为等轴双曲线。
在这里，可能会有人想到一个东西：打勾函数。
打勾函数在一些题目中经常出现。在这里考虑函数 y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{1}{x}
它有两条渐近线，分别为 x=0 和 y=\frac{\sqrt{3}}{3}x ，因此我们猜测，它的图像也是双曲线。
例3 在平面直角坐标系中，已知函数 y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{1}{x} ，将其绕原点顺时针旋转 60° ，求所得到的曲线 C 的方程。
解 取函数图像上一点 P(x,y) ， C 上的一点 P'(x',y') ，可将 P 视为 P' 旋转 \theta=60° 得到，即
x=\cos(60°) x'-\sin(60) y'=\frac{1}{2}x'-\frac{\sqrt{3}}{2}y'
y=\sin(60°) x'+\cos(60°) y'=\frac{\sqrt{3}}{2}x'+\frac{1}{2}y'
代入 y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{1}{x} ，即 xy=\frac{\sqrt{3}}{3}x^2+1 ， x(y-\frac{\sqrt{3}}{3}x)=1
可得 (\frac{1}{2}x'-\frac{\sqrt{3}}{2}y')(\frac{\sqrt{3}}{3}x'+y')=\frac{1}{2\sqrt{3}}(x'-\sqrt{3}y')(x'+\sqrt{3}y')=1
即 x^2-3y^2=2\sqrt{3} ，C为焦点在x轴上的双曲线。
后记：
本文是一位什么都不会的高中生心血来潮的创作，记录偶然的小发现。难免会出现错误或是步骤上的问题，如果有误欢迎私信指出~
个人感觉在知乎上打公式比Word和OneNote舒服很多，排版也比较舒服，以后可能将一些平时的笔记等等移到知乎上保存~
补充：
评论区超级热情~
感谢大家指出错误，现在已经修改，也谢谢大家认真阅读这篇文章。
一般形式的打勾函数在这里就不推导了，计算量会比较大~
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