物理学
空气动力学
流体力学
力学
理论力学

考虑空气阻力的自由落体,下落的时间和的公式是什么?

关注者
54
被浏览
251,645

5 个回答

泻药。

首先我们需要一个描述空气阻力需要一个经验公式。这里把这个公式取为: f=\frac{1}{2}c\rho Sv^2 。c是空气阻力系数, \rho 是空气密度,S是物体的迎风面积,v是物体相对于空气速度。从这个式子可以看出,不同的物体受到的空气阻力是不一样的。这是合理的比如降落伞的迎风面积就很大,所以降落伞下降的时候受到的空气阻力就很大,正因为这样降落伞才能保护跳伞者。

物体一但确定之后,迎风面积S也就确定了,这时候空气阻力之和速度的平方成正比。我们可以把这个比例系数定为k, k=\frac{1}{2}c\rho S 。这样空气阻力大小就可以写成 k v^2

物体在下落过程中只受到重力和空气阻力。取向下为正方向,则重力大小为正,空气阻力为负。由牛顿第二定律可得: mg-kv^2=ma ,所以可以写出如下的非线性微分方程:

mg-k(\frac{dx}{dt})^2=m\frac{d^2x}{dt^2}

初始时刻速度为0,即 x'(0)=0 。初始时刻下落距离为0,即 x(0)=0 。由这两个初始条件配合得到的微分方程,就可以得到下落距离与时间的函数关系:

其中ln是对数函数,cosh是双曲余弦函数。下落速度随时间的变化关系通过对x(t)求导得到:

其中tanh是双曲正切函数。

从v(t)函数的表达是可以发现,当t趋近于无穷大的时候,v(t)以 \sqrt{mg/k}为极限。这说明考虑空气阻力之后,速度不会像没有空气阻力那样无限制增加,它最终会达趋于一个稳定值,之后的运动便可视为匀速直线运动。这个稳定值也可以通过阻力等于重力得到,即用方程 mg=kv^2解得。

最后下落距离x(t)和速度v(t)随着时间变化的图像大概如下。正如前面所说的,速度有一个极限,随着时间不短增大,v(t)曲线无限向图中的虚线靠拢。

有时候在速度不是很大的时候,也采用阻力正比于速度而不是速度二次方的经验公式。在那种情况下也有类似的结论。

编辑于 2017-11-24 11:14

一张图完事。

编辑于 2021-10-09 19:06

我来考古了

菜的不行的推导

感觉还是比较全的

没搞Markdown,看起来丑了点,见谅


发布于 2020-10-30 22:09

一张图解决问题,当物体速度较高时,阻力和速度的平方成正比,公式的推导方法其实是一样的。如果是已知位移,求时间的话,就给最后的那个式子再积分,可以列出一个时间和位移的方程,可以解出来。

编辑于 2019-12-14 22:44

气动外形是关键啊。

发布于 2022-03-21 00:17